Um método iterativo para escrever naturais menores ou iguais a 1225 como soma de dois quadrados

Nesta postagem, introduziremos uma planilha iterativa capaz de dizer se um natural c é escrito como soma de quadrados, isto é, c = a² + b², com a e b naturais. Além disso ficará evidente quem são os naturais a e b.
Um resultado importante que extraímos deste estudo é que se um natural é escrito como soma de dois quadrados de mais de uma maneira, então ele é composto. Por exemplo, 50 = 5² + 5² = 7² + 1², 65 = 1² + 8² = 7² + 4², 130 = 3² + 11² = 7² + 9², 145 = 1² + 12² = 8² + 9² são claramente compostos.

Para verificar se um certo natural M é escrito como soma de quadrados, basta inseri-lo na Célula A2 (em azul) e verificar se na coluna E aparece algum valor natural. Se a resposta for sim, então basta relacionar o natural da coluna E linha i, com o natural da coluna C linha i, com i variando entre 2 e 36.

Veja no exemplo inicial da tabela: testamos se 18 é escrito como soma de quadrados. Note que na Célula E4 a resposta é um número natural. Logo relaciono a célula E4 com a célula C4 e obtenho que 18 = 3² + 3².

Obs: Como o variamos o M entre 1 e 35, então este algoritmo é válido apenas para números menores ou iguais a 1225.

Se não aparecer nenhum número natural na coluna E, então o número em teste não pode ser escrito como soma de quadrados.

Quando a aparecer na Coluna E a expressão #NUM!, significa que a diferença M - N² é negativa e automaticamente a raiz quadrada não tem solução real.

Teste de Primalidade para naturais menores que 10000.

Um dos conceitos mais importantes e enigmáticos de toda a Matemática consiste na idéia de número primo.
Além disso, uma tarefa que não é fácil consiste em determinar se um natural p é primo ou composto. Em aritmética estudamos o seguinte Lema:

Se um número natural maior que 1 não é divisível por nenhum primo p tal que p² < n+1, então ele é primo.

Neste momento, nosso enfoque não é em provar esta afirmação, mas sim, construir uma planilha iterativa para verificar se dado um natural k é primo ou composto, onde k<10000.

Para isto, basta inserir na Célula A2 abaixo o valor candidato a ser primo e verificar a seguinte análise:

Se na coluna B não aparecer nenhum número natural ou apenas um (o número 1), então pelo Lema concluímos que este número será Primo.

Entretanto, se na coluna B aparecerem dois ou mais números naturais, ou apenas 1 (diferente de 1) então o número em teste será Composto.

OBS: Estou na buscar de uma planilha mais "limpa", entretanto minha proposta é apenas de mostrar que um trabalho árduo feito manualmente, pode ser imediato se feito com o auxílio computacional.
Outra coisa que quero enfatizar é que este teste pode ser ampliado para valores maiores, bastando apenas acrescentar na tabela os primos positivos menores que a raiz quadrada da ordem desejada.
Por exemplo, se quiser estudar valores menores ou iguais 250000, basta acrescentar na Coluna A os primos positivos menores que 500.

Bons estudos à todos!!!
Um Grande Abraço!

Professor Luiz.