Alguns exemplos de gráficos de equações polares

O gráfico de uma equação polar r = f(t), ou mais genericamente, F(r,t) = 0, consiste em todos os pontos P que têm pelo menos uma representação (r,t) cujas coordenadas satisfaçam a equação.

Para esboçar o gráfico de uma equação polar, podemos fazer o seguinte procedimento:

* Atribuir valores numéricos para o ângulo t e obter os respectivos comprimentos r;
* Construir o par (r,t);
* Marcar o par (r,t) no plano polar;
* Traçar o gráfico.

OBS: marcar o par (r,t) no plano polar consiste em traçar as retas com as amplitudes específicas (ângulo t) e marcar nessa reta o comprimento r (distância entre o ponto e a origem).

Veja o seguinte exemplo: Construa o gráfico da equação r = 3cos(t).

Vamos atribuir os valores numéricos para t variando de 0º a 360º.
t = 0°
t = 30°
t = 45°
t = 60°
t = 90°
t = 120°
t = 135°
t = 150°
t = 180°
t = 210°
t = 225°
t = 240°
t = 270°
t = 300°
t = 315°
t = 330°
t = 360°

Vamos traçar as retas com essas amplitudes.

Agora vamos calcular o valor de r para cada amplitude acima:

t = 0°        ------ r = 3cos(0º) = 3;
t = 30°      ------ r = 3cos(30°) aprox 2,59;
t = 45°      ------ r = 3cos(45°) aprox 2,12;
t = 60°      ------ r = 3cos(60°) = 1,5;
t = 90°      ------ r = 3cos(90°) = 0;
t = 120°    ------ r = 3cos(120°) = -1,5;
t = 135°    ------ r = 3cos(135°) aprox -2,12;
t = 150°    ------ r = 3cos(150°) aprox -2,59;
t = 180°    ------ r = 3cos(180°) = -3;
t = 210°    ------ r = 3cos(210°) aprox -2,59;
t = 225°    ------ r = 3cos(225°) aprox -2,12;
t = 240°    ------ r = 3cos(240°) = -1,5;
t = 270°    ------ r = 3cos(270°) = 0;
t = 300°    ------ r = 3cos(300°) = 1,5;
t = 315°    ------ r = 3cos(315°) aprox 2,12;
t = 330°    ------ r = 3cos(330°) aprox 2,59;
t = 360°    ------ r = 3cos(360°) = 3.

Dessa forma, obtemos os seguinte pares (r,t):
(3,0°)
(2.59,30º)
(2.12,45º)
(1.5,60º)
(0,90º)
(-1.5,120º)
(-2.12,135º)
(-2.59,150º)
(-3,180º)

(-2.59,210º)
(-2.12,225º)
(-1.5,240º)
(0,270º)
(1.5,300º)
(2.12,315º)
(2.59,330º)
(3,360º)

Todos esses pares se resumem a seguinte representação gráfica:

Eliminando as retas com amplitude fixa, obtemos:

Podemos notar que a representação acima consiste em um círculo de centro C(1.5,0) e Raio = 1,5. Veja:

Uma maneira mais rápida e prática para construção de gráficos de equações polares consiste no uso de algum software. Recomendo o uso do WINPLOT. Você pode baixá-lo pelo link abaixo:

http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

Após abrir o programa, você deve:

Escolher a opção 2 - dim.

Escolher a opção Equação Polar.

Inserir a equação, o período e apertar OK.

Gerando assim o gráfico desejado.

Você pode também usar uma animação construída no GEOGEBRA. Para isso, basta você inserir a equação e apertar o play.

Esse material  (animação abaixo) foi coletado nos arquivos animados do site GEOGEBRA e a autoria é de Luiz Cláudio LA. Sua página pode ser acessada pelo link abaixo:

https://www.geogebra.org/luisclaudio

Vejamos alguns exemplos construídos no WINPLOT:

• Rosáceas: As equações polares r = a.sen(nt) e r = a.cos(nt), com a diferente de zero e n inteiro positivo representam rosáceas. Obs: se n for par então teremos 2n laços no gráfico. Já se n for ímpar teremos n laços no gráfico. Veja o gráfico das equações r = 2sen(4t) e r = 2cos(3t).

r = 2sen(4t)

r = 2cos(3t)

• Lemniscata de Bernoulli: É dada pelas seguintes equações polares r = sqrt*(a.cos(2t)) / r = sqrt*(a.sen(2t)), com a diferente de zero. O gráfico gerado pelas equações anteriores consiste no famoso símbolo do infinito. Veja os exemplos: [*sqrt significa raiz quadrada!]

r = sqrt(4cos(2t))

r = sqrt(4sen(2t))

• Espiral de Arquimedes: É dada pela equação polar r = at, com a diferente de zero. 

Observações: Aqui aumentando o período (2pí, 4pí, 6pí,...) O comprimento da espiral aumenta.
Aumentando o valor de t a espiral fica mais dispersa, entretanto se reduzir o valor de t a espiral fica mais compacta. Veja os exemplos:

r = 2t

r = 0.15t

Alguns outros gráficos: (t está entre 0 e 10pí).

r = sen(8t/5)

r = (sen(2.4t))^2 + (cos(2.4t))^4

r = (sen(1.2t))^2 + (cos(6t))^3

• Cardióides: São as equações do tipo: r = a*(1 + seno(t)), r = a*(1 - seno(t)), r = a*(1 + cos(t)) e r = a*(1 - cos(t)), com a não nulo. Recebem este nome pois sua representação gráfica se assemelha ao desenho de um coração.

Exemplo: r = 2(1 - cos(t)).

Em breve estarei postando mais equações!