O gráfico de uma equação polar r = f(t), ou mais genericamente, F(r,t) = 0, consiste em todos os pontos P que têm pelo menos uma representação (r,t) cujas coordenadas satisfaçam a equação.
Para esboçar o gráfico de uma equação polar, podemos fazer o seguinte procedimento:
* Atribuir valores numéricos para o ângulo
t e obter os respectivos comprimentos
r;
* Construir o par (r,t);
* Marcar o par (r,t) no plano polar;
* Traçar o gráfico.
OBS: marcar o par (r,t) no plano polar consiste em traçar as retas com as amplitudes específicas (ângulo t) e marcar nessa reta o comprimento r (distância entre o ponto e a origem).
Veja o seguinte exemplo: Construa o gráfico da equação
r = 3cos(t).
Vamos atribuir os valores numéricos para
t variando de 0º a 360º.
t = 0°
t = 30°
t = 45°
t = 60°
t = 90°
t = 120°
t = 135°
t = 150°
t = 180°
t = 210°
t = 225°
t = 240°
t = 270°
t = 300°
t = 315°
t = 330°
t = 360°
Vamos traçar as retas com essas amplitudes.
Agora vamos calcular o valor de r para cada amplitude acima:
t = 0° ------ r = 3cos(0º) = 3;
t = 30° ------ r = 3cos(30°) aprox 2,59;
t = 45° ------ r = 3cos(45°) aprox 2,12;
t = 60° ------ r = 3cos(60°) = 1,5;
t = 90° ------ r = 3cos(90°) = 0;
t = 120° ------ r = 3cos(120°) = -1,5;
t = 135° ------ r = 3cos(135°) aprox -2,12;
t = 150° ------ r = 3cos(150°) aprox -2,59;
t = 180° ------ r = 3cos(180°) = -3;
t = 210° ------ r = 3cos(210°) aprox -2,59;
t = 225° ------ r = 3cos(225°) aprox -2,12;
t = 240° ------ r = 3cos(240°) = -1,5;
t = 270° ------ r = 3cos(270°) = 0;
t = 300° ------ r = 3cos(300°) = 1,5;
t = 315° ------ r = 3cos(315°) aprox 2,12;
t = 330° ------ r = 3cos(330°) aprox 2,59;
t = 360° ------ r = 3cos(360°) = 3.
Dessa forma, obtemos os seguinte pares (r,t):
(3,0°)
(2.59,30º)
(2.12,45º)
(1.5,60º)
(0,90º)
(-1.5,120º)
(-2.12,135º)
(-2.59,150º)
(-3,180º)
(-2.59,210º)
(-2.12,225º)
(-1.5,240º)
(0,270º)
(1.5,300º)
(2.12,315º)
(2.59,330º)
(3,360º)
Todos esses pares se resumem a seguinte representação gráfica:
Eliminando as retas com amplitude fixa, obtemos:
Podemos notar que a representação acima consiste em um círculo de centro C(1.5,0) e Raio = 1,5. Veja:
Uma maneira mais rápida e prática para construção de gráficos de equações polares consiste no uso de algum software. Recomendo o uso do WINPLOT. Você pode baixá-lo pelo link abaixo:
Após abrir o programa, você deve:
Escolher a opção 2 - dim.
Escolher a opção Equação Polar.
Inserir a equação, o período e apertar OK.
Gerando assim o gráfico desejado.
Você pode também usar uma animação construída no GEOGEBRA. Para isso, basta você inserir a equação e apertar o play.
Esse material (animação abaixo) foi coletado nos arquivos animados do site GEOGEBRA e a autoria é de Luiz Cláudio LA. Sua página pode ser acessada pelo link abaixo:
Vejamos alguns exemplos construídos no WINPLOT:
- Rosáceas: As equações polares r = a.sen(nt) e r = a.cos(nt), com a diferente de zero e n inteiro positivo representam rosáceas. Obs: se n for par então teremos 2n laços no gráfico. Já se n for ímpar teremos n laços no gráfico. Veja o gráfico das equações r = 2sen(4t) e r = 2cos(3t).
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| r = 2sen(4t) |
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| r = 2cos(3t) |
- Lemniscata de Bernoulli: É dada pelas seguintes equações polares r = sqrt*(a.cos(2t)) / r = sqrt*(a.sen(2t)), com a diferente de zero. O gráfico gerado pelas equações anteriores consiste no famoso símbolo do infinito. Veja os exemplos: [*sqrt significa raiz quadrada!]
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| r = sqrt(4cos(2t)) |
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| r = sqrt(4sen(2t)) |
- Espiral de Arquimedes: É dada pela equação polar r = at, com a diferente de zero.
Observações: Aqui aumentando o período (2pí, 4pí, 6pí,...) O comprimento da espiral aumenta.
Aumentando o valor de
t a espiral fica mais dispersa, entretanto se reduzir o valor de
t a espiral fica mais compacta. Veja os exemplos:
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| r = 2t |
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| r = 0.15t |
Alguns outros gráficos: (t está entre 0 e 10pí).
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| r = sen(8t/5) |
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| r = (sen(2.4t))^2 + (cos(2.4t))^4 |
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| r = (sen(1.2t))^2 + (cos(6t))^3 |
- Cardióides: São as equações do tipo: r = a*(1 + seno(t)), r = a*(1 - seno(t)), r = a*(1 + cos(t)) e r = a*(1 - cos(t)), com a não nulo. Recebem este nome pois sua representação gráfica se assemelha ao desenho de um coração.
Exemplo: r = 2(1 - cos(t)).
Em breve estarei postando mais equações!
