Equações do segundo grau e geometria

Buscamos neste texto relacionar atividades que envolvam a equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 (com a diferente de zero) com geometria (retângulo, quadrados, áreas, perímetros, segmentos de reta, paralelepípedos e volumes). Todas as atividades possuem a solução final, entretanto se necessitar da solução detalhada, basta deixar um comentário.

Grande abraço e bom estudo!

Lista de exercícios 

1) Um terreno retangular tem 1100 m² de área. A frente desse terreno tem 28 metros a menos que a lateral. Quais são as dimensões desse terreno? R: 50 m e 22 m.

2) Um paralelepípedo retângulo tem as seguintes dimensões: x metros de largura, (x + 3) metros de comprimento e 3 metros de altura. Sabendo que o volume do paralelepípedo é 30 m³ e que este volume é calculado pelo produto das três dimensões então qual é o maior valor que x pode assumir? R: 2 metros

3) O piso de um galpão retangular tem 140 m² de área. Sabendo que o galpão tem (x + 2) metros de comprimento e (x + 6) metros de largura então em números quanto vale a largura e o comprimento deste galpão? R: 14 e 10 metros.

4) Um retângulo de dimensões 16 e (x + 5) tem a mesma área que um quadrado de lado x. Pergunta-se:
a) Qual a medida do lado do quadrado? R: 20
b) Qual o perímetro do quadrado? R: 80
c) Qual o perímetro do retângulo? R: 82

5) Em um terreno retangular de 80 m por 50 m, foi construído um barracão que serve de depósito para uma firma. Esse depósito ocupa uma área de 1000 m². Em torno do barracão, há um recuo de x metros de cada lado da figura, para um gramado (ver figura). Qual é a medida x desse recuo? R: 15 metros.

6) A tela de um quadro tem a forma retangular e mede 50 cm e 30 cm. Nessa tela, foi colocada uma moldura, também retangular, de largura x. Calcule essa largura, sabendo que o quadro todo passou a ocupar uma área de 2400 cm². R: 5 cm. 

 

  7) (IFMT 2010) Para produzir morangos um agricultor utiliza um terreno retangular de 600 m². Com o objetivo de aumentar a área de plantio, o agricultor decidiu aumentar o terreno em x metros na largura e (x + 8) metros no comprimento. O valor de x para que a área de plantio seja aumentada em 1000 m², é igual a: 

a) 8 m

b) 10 m

c) 12 m

d) 14 m

e) 15 m

8) Um retângulo apresenta as medidas indicas na figura.

Se aumentarmos o comprimento e a largura na mesma quantidade, a área do novo retângulo será 7 vezes a área do retângulo original.
a) Quais as dimensões do novo retângulo? R: 10 m e 7 m.
b) Qual o perímetro do novo retângulo? R: 34 m.

9) Usando a fórmula matemática d = (n (n - 3))/2, que relaciona o número de diagonais (d) e o número de lados (n) de um polígono, calcule o número de lados do polígono que tem:
a) 9 diagonais. R: 6 lados.
b) 20 diagonais. R: 8 lados.
c) 90 diagonais. R: 15 lados.

10) O volume de um paralelepípedo retângulo é obtido multiplicando-se as três dimensões desse paralelepípedo. Sabe-se que as dimensões de certo paralelepípedo retângulo são expressas por 3 cm, (3 - 2x) cm e (3 - x) cm, e o seu volume é de 15 cm³. A soma, em centímetros, das três dimensões desse paralelepípedo é:
a) 3,125              b) 3,25              c) 4,5              d) 7,5              5,25

11) Observe a figura a seguir.

Sabendo que AC² = AB . BC e adotando que a raiz quadrada de 5 seja igual a 2,23, calcule o valor da medida x.
R: 6,15.

12) Considere um triângulo retângulo ABC. A medida de sua base AB é o dobro da medida de sua altura AC. Se a área deste triângulo é 18 cm², determine:
a) o valor numérico da base;
b) o valor numérico da altura;
c) o valor numérico da hipotenusa;
d) o Perímetro do triângulo.

13) De acordo com as informações da figura abaixo, determine as dimensões dos triângulos: