Máximo Divisor Comum

Divisor Comum: Dados dois números naturais a e b, não simultaneamente nulos, diremos que o número natural d (não nulo) é um divisor comum de a e b se d divide a e d divide b.

Exemplo: os números 1,2,3 e 6 são divisores comuns de 12 e 18.

Máximo Divisor Comum (MDC): Diremos que d é um máximo divisor comum de a e b se possuir as seguintes propriedades:
i) d é um divisor comum de a e b;
ii) d é divisível por todo divisor comum de a e b. 

Exemplo: os números 1,2,3 e 6 são divisores comuns de 12 e 18. Porém, o número 6 é o maior deles. Logo MDC(12,18) = 6.

Questões

Questão 1) Calcule o Máximo Divisor Comum de 12 e 15.

Questão 2) Calcule o Máximo Divisor Comum de 44 e 8.

Questão 3) Calcule o Máximo Divisor Comum de 45 e 25.

Questão 4) Calcule o Máximo Divisor Comum de 46, 8 e 15.

Questão 5) (IFMT) Com o objetivo de enfeitar a escola para uma festa, serão penduradas no pátio fitas coloridas. Observe o diálogo entre as organizadoras.

De acordo com o diálogo, quantos pedaços de fita serão obtidos ao todo?

Questão 6) (IFMT) Duas tábuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento, sendo esse comprimento o maior possível. Se uma tábua tem 90 centímetros, e a outra tem 126 centímetros, qual deve ser o comprimento de cada pedaço, se toda a madeira deve ser aproveitada?

Questão 7) Na escolinha de futebol, a turma dos meninos tem 48 alunos e a turma das meninas 42 alunas. O professor de Educação Física quer organizar treinos como todos os alunos dessas turmas. Para isso, ele quer formar grupos com o mesmo número de alunos e colocar o maior número possível de alunos em cada grupo. Quantos alunos esse professor deve colocar em cada grupo?

Questão 8)Os números 54 e 72 possuem divisores comuns. Qual é o maior deles?

Questão 9) O número N é o maior divisor comum dos números 96, 144 e 240. Que número deve ser N?

Questão 10) Um prédio possui duas escadarias, uma delas com 1000 degraus e a outra com 800 degraus. Sabendo que os degraus das duas escadas só estão no mesmo nível quando conduzem a um andar, descubra quantos andares tem o prédio.

Desempatando no Xadrez - Alguns critérios de desempate

Algo comum que pode acontecer em competições de xadrez é o empate em números de pontos de competidores. O que fazer para determinar o campeão?
Neste texto comentarei sobre alguns dos métodos. Os que mais utilizamos (ou foram utilizados em competições que participamos) foram:

1) Confronto Direto;
2) Maior número de vitórias;
3) Milésimos Medianos;
4) Milésimos Totais;
5) Sonneborg-Berger;
6) O mais novo vence;
7) Sorteio.

1) Se ao final de X rodadas, dois atletas (A e B) estiverem com a mesma pontuação, porém A venceu B, então o atleta A será campeão.
2) Se ao final de X rodadas, dois atletas (A e B) estiverem com a mesma pontuação, porém A venceu mais partidas do que B, então o atleta A será campeão.
3) Faça a seguinte análise dos competidores que empataram: Some a pontuação de todos os seus adversários retirando a maior e a menor pontuação. Aquele que possuir a maior soma será considerado campeão.
4) Faça a seguinte análise dos competidores que empataram: Some a pontuação de todos os seus adversários. Aquele que possuir a maior soma será considerado campeão.
5) Faça a seguinte análise dos competidores que empataram: Some a pontuação de todos os seus adversários na qual venceu (P1). Some a pontuação de todos os seus adversários na qual empatou (P2). Considere a seguinte soma: P = P1 + (P2/2). Aquele que possuir a maior soma P será considerado campeão.
6) Se ao final de X rodadas, dois atletas (A e B) estiverem com a mesma pontuação, porém A é mais novo que B, então o atleta A será campeão.
7) Se ainda persistir o empate, faça o desempate mediante um sorteio.

Espero ter ajudado. Qualquer correção, dúvida, contato, acréscimo,..., estamos à disposição.

Atividade 1 - Xadrez para iniciantes

Esta postagem consiste na primeira de muitas que virão sobre Xadrez. A ideia é fazer um compêndio de exercícios para estimular a criatividade e desenvolver as "opções" dos iniciantes a este belo jogo.

As brancas jogam e dão o mate em 2 lances.

Soluções:
Questão 1) Uma solução: 1. Db7+ Rf8 / 2. Ta8#.

Questão 2) 1. De7+ Rc8 / 2. Dc7#.

Questão 3) Uma solução: 1. Rc6 Ra6 ou (Ra8) / 2. Db6# ou (Db7#).

Questão 4) 1. Dc7+ Ra8 / 2. Dc8#.

Questão 5)  1. Db4 Ra7 / 2. Db7#.

Questão 6) 1. De6+ Rd8 / 2. Rd7#

Questão 7) 1. Th7 Rf8 / 2. Ta8#

Questão 8) 1. Th8 h6 / 2. Txh6# ou 1. Th8 Rh5 / 2. Txh7#
 
Em breve postarei as outras soluções.

Atividade 2 - Xadrez para iniciantes

Considerando uma escala de 1 a 5 (grau de dificuldade para iniciantes), os exercícios abaixo são considerados de grau 3. Bom estudo!

Soluções:
Questão 1) 1. Da4 | Fazendo isso, as pretas ficam com suas opções: capturar a Dama branca ou qualquer outra jogada. Vamos colocar as duas opções.
1. Da4 Dxa4 | 2. Td8+ Te8| 3. Txe8#.
1. Da4 Qualquer outro movimento | Ataque com a Dama ou com a Torre.

Questão 2) 1. Dxf7+ Rh8 | 2. Df8+ Txf8 | 3. Txf8#.

Questão 3) Uma das possibilidades 1. Txh2 ...... | Th8 ..... | Th1#. A ideia é atacar com as Torres na coluna h.

Questão 4) 1. Cf3+ Rf1 ou Rh1 | 2. Tb2+ Txb2 | 3. Dxb2#.

Questão 5) 1. Db4+ Re8 | 2. De7#   ou    1. Db4+ Dxe4 | 2. Td8#.

Questão 6) 1. Tc1+ Txc1 | 2. Dxc1#.

Questão 7) 1. Te8+ Cf8 | 2. Ch6+ Dxh6 | 3. Txf8 Rxf8 | 4. Dd8#.

Integrais Impróprias

Na definição de integral definida, consideramos a função integranda contínua num intervalo fechado e limitado. Agora, estenderemos esta definição para os seguintes casos:

- Funções definidas em intervalos do tipo [a,+∞), (-∞,b] ou (-∞,+∞), ou seja, para todo x maior ou igual a a; x menor ou igual a b ou ainda para todo x real, respectivamente.

- Funções descontínuas num certo ponto c pertencente a [a,b].

As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias.

Somente para ilustração, considere as funções y=1/x² e z=1/x. Será que é possível calcular a integral de y no intervalo [1,+∞)? E z no intervalo (0,1]? Graficamente:

Como mencionado acima, os problemas apresentados consistem em integrais impróprias, pois no primeiro caso um de nossos limites de integração é "+∞" e no segundo caso a função z não está definida para x = 0 e este é um dos limites de integração.

Para sanar a estas dúvidas definiremos:

Observe o exemplo 1.

Agora observe o exemplo 2. Iremos mostrar que mesmo sendo uma figura com região infinita, sua área pode ser finita!

Observe o exemplo 3 que mostrará como calcular uma integral onde a função é descontínua em determinado ponto do intervalo em análise.

Em breve estarei completando este documento!

Trabalho I - Primeiro Bimestre - Sétimos anos

Caros alunos,

Segue abaixo o primeiro trabalho do primeiro bimestre de 2015.
Data de entrega: dia 06 de março (sexta-feira).
Deve contar: Capa + Desenvolvimento dos exercícios: cálculos e respostas.

Trabalho I - Primeiro Bimestre - Nonos anos

Caros alunos,

Segue abaixo o primeiro trabalho do primeiro bimestre de 2015.
Data de entrega: dia 06 de março (sexta-feira).
Deve contar: Capa + Desenvolvimento dos exercícios: cálculos e respostas.