Luiz Fernando de M. C. Filho - IFMT - Campus Avançado Diamantino
Nayara de Novaes Rezende Villani - IFMT - Campus Sorriso
Se você é um estudante matemático curioso, certamente já se perguntou se é possível calcular manualmente ou com uma calculadora simples potências do tipo:
Estamos procurando um meio manual ou acessível com uma calculadora simples para realizar cálculos (aproximações numéricas) de potências onde o expoente é um número irracional e potências onde tanto a base como o expoente são números irracionais.
Fazendo uma busca na internet, notamos que existem poucos arquivos que mostram ao menos um método para tal curiosidade.
Pensando nesse grupo de curiosos, resolvemos criar este documento.
Para encontrar uma fórmula para tal procedimento, viajamos no mundo do CÁLCULO (disciplina cursada por estudantes de graduação em áreas relacionadas à matemática). Lá, são estudadas algumas aproximações interessantes. Uma delas é o Polinômio de Taylor e Mac-Laurin.
A grosso modo, o polinômio de Taylor nos diz que é possível estimar um valor de uma função em torno de um ponto a através de uma soma envolvendo as derivadas desta função naquele ponto. No caso especial de (a = 0), então a expressão é chamada de Série de Mac-Laurin.
OBS: Queremos deixar claro aqui que a intenção com o texto acima (mencionar as Séries de Taylor e Mac-Laurin) é de apenas situar o leitor que ainda não passou por uma disciplina de Cálculo ou nunca ouviu falar sobre os tais temas.
Uma referência para um estudo mais detalhado sobre o assunto:
Um Curso de Cálculo - Volume I - Hamilton Luiz Guidorizzi
Quinta Edição - Capítulo 14 - Página 465
Utilizando destes conceitos, conseguimos obter a seguinte aproximação:
OBS: na potência em análise, a base, por definição, deverá ser um número real maior ou igual a zero.
Note que encontramos uma aproximação para potências. Para usarmos, devemos transformar a base em uma soma do tipo (1+x). Exemplos:
3 = (1+2);
6 = (1+5);
3,14 = (1+2,14);
0,4 = (1+ (-0,6))...
Para o expoente, adotamos a aproximação que acharmos melhor.
Dessa maneira, ao menos com uma calculadora simples, podemos encontrar uma aproximação numérica para este tipo de potência. Vejam três exemplos:
Exemplo 1: Dê uma aproximação para 3 elevado a (pí).
A solução dada por uma calculadora científica é: 31,54428070019...
Exemplo 2: Dê uma aproximação para 0,4 elevado a e (número de Euler).
Exemplo 3: Dê uma aproximação para raiz quadrada de 2 elevado a raiz quadrada de 2.
Podemos notar que as aproximações numéricas são boas, pois a ideia é um cálculo manual ou, na melhor das hipóteses, com uma calculadora simples.
2 comentários:
procuro o significado de uma potência com expoente irracional, por exemplo: sabemos que toda potência com expoente negativo é uma fração cujo numerador é 1 e o denominador é a potência com expoente positivo; a potencia com expoente fracionário é uma raiz cujo indice é o denominador da fração e o expoente do radicando é o numerador da fração; então o que seria uma potência cujo expoente é um número irracional? por exemplo o que seria uma potencia de base natural e expoente irracional?
aguardo seu retorno prof. luiz. desde já agradeço.
Estevam
Estevam, boa tarde!
A ideia do texto consiste em apenas abordar uma saída para uma solução numérica deste tipo de potência. Como o expoente é um número irracional, você pode deixar na forma "exata" ou procurar aproximações para determinar o valor da potência. Uma potência de base natural e expoente irracional poderia ser (para citar dois exemplos):
i) uma aplicação de uma função exponencial (se f(x) = 2exp(x) e x = e, então f(e) = 2exp(e) - seria a imagem da função para x = e).
ii) a solução de um logaritmo (ln x = pi <-> eexp(pi) = x.
Não teria uma classe como as dos radicais que você citou. Seria apenas uma representação de uma potência. Você pode, utilizando as aproximações, aproximar uma potência de expoente irracional em uma potência de expoente inteiro e/ou uma potência de expoente fracionário.
Por exemplo, se considerar 3 elevado a pí. Esta seria a representação de potência na forma "exata". Agora, se quiser encontrar algum valor aproximado, poderia transformar em:
1. 3 elevado a 3 = 27 (uma primeira aproximação - base natural e expoente natural).
2. 3 elevado a 3,1 (31/10) aprox 31,135 (uma segunda aproximação). Aqui já teríamos uma aproximação via radical (base natural e expoente fracionário).
Abraço!
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